SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces n- ésimas diferentes a raíces cuadradas o cúbicas.
Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz n-ésima al primer y segundo término.
Dividir la expresión original entre la suma o resta (de acuerdo al signo del segundo término) de las raíces.
Igualar éste término a la suma de los (n-1) monomios en donde se observa que el primer termino comienza elevado a la (n-1) y termina en 0, mientras que el segundo término comienza en 0 y termina en (n-1).
Pasar a multiplicar el término ubicado en el denominador a la expresión obtenida en el paso anterior.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: (m5 + n5) / (m +n )
SOLUCIÓN:
(m5 + n5) / (m + n ) = m4 – m3 n + m2 n2 - m n3 + n4
(m5 + n5) = (m + n ) . (m4 – m3 n + m2 n2 - m n3 + n4)
Caso 9 - SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces de acuerdo al signo que se tiene en la expresión.
Multiplicar por otro paréntesis en el que se coloca la primera raíz elevada al cuadrado, luego la multiplicación de las dos raíces, y por último la segunda raíz elevada al cuadrado.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a3 - 8
SOLUCIÓN:
a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )
raíces cúbicas: a 2
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces de acuerdo al signo que se tiene en la expresión.
Multiplicar por otro paréntesis en el que se coloca la primera raíz elevada al cuadrado, luego la multiplicación de las dos raíces, y por último la segunda raíz elevada al cuadrado.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a3 - 8
SOLUCIÓN:
a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )
raíces cúbicas: a 2
Caso 8- CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son cuatro (4).
La raiz del primer y cuarto monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El segundo y tercer término tienen que cumplir el triángulo de Pascal.
El primer término siempre debe ser positivo.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y cuarto término.
Multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la ráiz del cuarto y ésto por tres.
Verificar que dé igual al segundo término de la expresión.
Multiplicar la raíz del cuarto elevada al cuadrado por la ráiz del primero y ésto por tres.
Verificar que dé igual al tercer término de la expresión.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces del primer y cuarto términos (de acuerdo al signo del segundo monomio), y todo elevado a la tres.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: 125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512y15
SOLUCIÓN:
125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15 = (5 x 4 +8 y5 )3
raíces cúbicas: 5 x 4 8 y5
3. (5 x4)2 . (8 y5) 3 . (5 x4) . (8 y5)2
= 600 x8 y5 =960 x4 y10
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son cuatro (4).
La raiz del primer y cuarto monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El segundo y tercer término tienen que cumplir el triángulo de Pascal.
El primer término siempre debe ser positivo.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y cuarto término.
Multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la ráiz del cuarto y ésto por tres.
Verificar que dé igual al segundo término de la expresión.
Multiplicar la raíz del cuarto elevada al cuadrado por la ráiz del primero y ésto por tres.
Verificar que dé igual al tercer término de la expresión.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces del primer y cuarto términos (de acuerdo al signo del segundo monomio), y todo elevado a la tres.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: 125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512y15
SOLUCIÓN:
125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15 = (5 x 4 +8 y5 )3
raíces cúbicas: 5 x 4 8 y5
3. (5 x4)2 . (8 y5) 3 . (5 x4) . (8 y5)2
= 600 x8 y5 =960 x4 y10
Caso 7-TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
El primer y tercer término no tienen raíces cuadradas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Multiplicar todos los términos por el coeficiente del primer monomio, dejando en el segundo tan solo expresado es decir no se multiplica, y dividir toda la expresión por el mismo número
Sacar la raíz cuadrada al primer término del numerador.
Aplicar el caso sexto de factorización.
Sacar factor común (si se puede) en cada uno de los paréntesis obtenidos con el fín de simplicar estos factores con el número del denominador.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: 5x2 + 13 x - 6
SOLUCIÓN
5x2 + 13 x - 6 = (25x2 + 13 . ( 5 x) - 30) / 5
raíz cuadrada: 5 x
= ( (5x + 15) . (5x - 2) ) / 5
= ( 5. (x + 3) . (5x - 2) ) / 5
= (x + 3) . (5 x -2
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
El primer y tercer término no tienen raíces cuadradas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Multiplicar todos los términos por el coeficiente del primer monomio, dejando en el segundo tan solo expresado es decir no se multiplica, y dividir toda la expresión por el mismo número
Sacar la raíz cuadrada al primer término del numerador.
Aplicar el caso sexto de factorización.
Sacar factor común (si se puede) en cada uno de los paréntesis obtenidos con el fín de simplicar estos factores con el número del denominador.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: 5x2 + 13 x - 6
SOLUCIÓN
5x2 + 13 x - 6 = (25x2 + 13 . ( 5 x) - 30) / 5
raíz cuadrada: 5 x
= ( (5x + 15) . (5x - 2) ) / 5
= ( 5. (x + 3) . (5x - 2) ) / 5
= (x + 3) . (5 x -2
Caso 6-TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
La raiz del primer tienen que ser raíces cuadradas perfecta.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El primer término siempre debe ser positivo.
El tercer término no es un cuadrado perfecto.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer término.
Abrir dos paréntesis en donde en cada uno el primer término es la raíz obtenida.
Colocar en el primer paréntesis el signo del segundo término de la expresión original.
Colocar en el segundo paréntesis el signo obtenido de la multiplicación entre los signos del segundo y tercer término de la expresión original.
Buscar dos números que multiplicados me den el coeficiente del tercer término de la expresión original, y sumados el del segundo término.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a2 + 7 a + 10
SOLUCIÓN
a2 + 7 a + 10 = (a + 5) . (a + 2)
raíz cuadrada: a
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
La raiz del primer tienen que ser raíces cuadradas perfecta.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El primer término siempre debe ser positivo.
El tercer término no es un cuadrado perfecto.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer término.
Abrir dos paréntesis en donde en cada uno el primer término es la raíz obtenida.
Colocar en el primer paréntesis el signo del segundo término de la expresión original.
Colocar en el segundo paréntesis el signo obtenido de la multiplicación entre los signos del segundo y tercer término de la expresión original.
Buscar dos números que multiplicados me den el coeficiente del tercer término de la expresión original, y sumados el del segundo término.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a2 + 7 a + 10
SOLUCIÓN
a2 + 7 a + 10 = (a + 5) . (a + 2)
raíz cuadrada: a
Caso 5- Trinomio Cuadrado Perfecto por adicion y sustraccion
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
La raiz del primer y tercer monomio tienen que ser raíces cuadradas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El primer término siempre debe ser positivo.
El segundo término no es igual a la multiplicación de las raíces por dos.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer y tercer término.
Multiplicar las raíces entre sí y luego por dos (2).
Revisar que valor da ésta multiplicación.
Sumar lo que le hace falta a éste término y restar la misma cantidad a la expresión.
Aplicar trinomio cuadrado perfecto.
A los dos términos que quedan en el desarrollo se les aplica el caso de diferencia de cuadrados perfectos.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a4 + a2 + 1
SOLUCIÓN:
a4 + a2 + 1
2 a2
raíces cuadradas multiplicadas por 2: 2 . ( a2 1)
como da diferente entonces:
a4 + a2 + 1 = a4 + a2 + 1
+ a2 - a2
= a4 + 2 a2 + 1 - a2
= ( a2 + 1)2 - a2
raíces cuadradas: a2 + 1 a
= (a2 + 1 + a) . (a2 + 1 - a)
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
La raiz del primer y tercer monomio tienen que ser raíces cuadradas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El primer término siempre debe ser positivo.
El segundo término no es igual a la multiplicación de las raíces por dos.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer y tercer término.
Multiplicar las raíces entre sí y luego por dos (2).
Revisar que valor da ésta multiplicación.
Sumar lo que le hace falta a éste término y restar la misma cantidad a la expresión.
Aplicar trinomio cuadrado perfecto.
A los dos términos que quedan en el desarrollo se les aplica el caso de diferencia de cuadrados perfectos.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a4 + a2 + 1
SOLUCIÓN:
a4 + a2 + 1
2 a2
raíces cuadradas multiplicadas por 2: 2 . ( a2 1)
como da diferente entonces:
a4 + a2 + 1 = a4 + a2 + 1
+ a2 - a2
= a4 + 2 a2 + 1 - a2
= ( a2 + 1)2 - a2
raíces cuadradas: a2 + 1 a
= (a2 + 1 + a) . (a2 + 1 - a)
Caso 4- Trinomio Cuadrado Perfecto por adicion y sustraccion
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces cuadradas perfectas.
Válido para operaciones de resta entre los monomios únicamente.
El primer término siempre debe ser positivo.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer y segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma de las raíces multiplicado por otro paréntesis en el que se muestra la diferencia de las raíces.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: 25 x2 y4 – 121
SOLUCIÓN:
25 x2 y4 – 121 = (5xy2 + 11) . ((5xy2 - 11)
raíces cuadradas: 5 x y2 11
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces cuadradas perfectas.
Válido para operaciones de resta entre los monomios únicamente.
El primer término siempre debe ser positivo.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer y segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma de las raíces multiplicado por otro paréntesis en el que se muestra la diferencia de las raíces.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: 25 x2 y4 – 121
SOLUCIÓN:
25 x2 y4 – 121 = (5xy2 + 11) . ((5xy2 - 11)
raíces cuadradas: 5 x y2 11
Caso 3- Trinomio Cuadrado Perfecto
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
La raiz del primer y tercer monomio tienen que ser raíces cuadradas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El primer término siempre debe ser positivo.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer y tercer término.
Multiplicar las raíces entre sí y luego por dos (2).
Verificar que ésta multiplicación da igual al segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces teniendo en cuenta el signo del segundo término, y elevar todo éste paréntesis al cuadrado.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a2 – 10 a + 25
SOLUCIÓN:
a2 – 10 a + 25 = (a - 5)2
10a
raíces cuadradas multiplicadas por 2: 2 . ( a 5)
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma son tres (3).
La raiz del primer y tercer monomio tienen que ser raíces cuadradas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El primer término siempre debe ser positivo.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cuadrada al primer y tercer término.
Multiplicar las raíces entre sí y luego por dos (2).
Verificar que ésta multiplicación da igual al segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces teniendo en cuenta el signo del segundo término, y elevar todo éste paréntesis al cuadrado.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a2 – 10 a + 25
SOLUCIÓN:
a2 – 10 a + 25 = (a - 5)2
10a
raíces cuadradas multiplicadas por 2: 2 . ( a 5)
Caso2 - FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma puede ser cualquiera.
La máxima potencia presente no tiene un límite.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
Existen dos grupos, cada uno con un factor en común.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Buscar el factor común para formar dos grupos (letra con menor exponente o número).
Colocar el factor común para cada uno de los grupos seguido de un paréntesis en el cual irá el resto de la expresión.
Sumar la factorización realizada para cada grupo.
Colocar el factor común de los dos grupos seguido de un paréntesis en el cual irá el resto de la expresión.
Verificar que la multiplicación expresada da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a x + b x + a y + b y
SOLUCIÓN:
a x + b x + a y + b y = (a x + b x) + (a y + b y)
= x. (a + b) + y (a+ b)
= (a + b). (x + y)
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma puede ser cualquiera.
La máxima potencia presente no tiene un límite.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
Existen dos grupos, cada uno con un factor en común.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Buscar el factor común para formar dos grupos (letra con menor exponente o número).
Colocar el factor común para cada uno de los grupos seguido de un paréntesis en el cual irá el resto de la expresión.
Sumar la factorización realizada para cada grupo.
Colocar el factor común de los dos grupos seguido de un paréntesis en el cual irá el resto de la expresión.
Verificar que la multiplicación expresada da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a x + b x + a y + b y
SOLUCIÓN:
a x + b x + a y + b y = (a x + b x) + (a y + b y)
= x. (a + b) + y (a+ b)
= (a + b). (x + y)
Caso 1- Factor Comun
FACTOR COMÚN
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma puede ser cualquiera.
La máxima potencia presente no tiene un límite.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Buscar el factor común entre todos los términos (letra con menor exponente o número).
Colocar el factor común seguido de un paréntesis en el cual irá el resto de la expresión.
Verificar que la multiplicación expresada da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a3 + a2 b3 – 3 a4 b2 + 2 a3 c b
SOLUCIÓN:
a3 + a2 b3 – 3 a4 b2 + 2 a3 c b = a2 . (a + b3 –3 a2 b2 + 2 a c b)
CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:
El número de monomios que la conforma puede ser cualquiera.
La máxima potencia presente no tiene un límite.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:
Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Buscar el factor común entre todos los términos (letra con menor exponente o número).
Colocar el factor común seguido de un paréntesis en el cual irá el resto de la expresión.
Verificar que la multiplicación expresada da el ejercicio que se quiere desarrollar.
EJEMPLO:
FACTORIZAR: a3 + a2 b3 – 3 a4 b2 + 2 a3 c b
SOLUCIÓN:
a3 + a2 b3 – 3 a4 b2 + 2 a3 c b = a2 . (a + b3 –3 a2 b2 + 2 a c b)
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